四种张量概念：这四类不同的概念混为一谈, 就麻烦了！
看到新一代对连续介质力学方面的书很感兴趣，特发此帖。每一本好书的张量概念一般地说是自身协调的。但是，如果把这四类不同的概念混为一谈，就麻烦了。
因而，不同书上的结果(尤其是方程)，会有所不同，如要比较，则只能在物理化后统一到国际单位制下比较。很多书混用张量概念，如果公式也是东抄西就的话，这种书会害人的。建议，你掌握(爱好)那种张量概念，就看用这类张量概念，写的书。切不可胡里胡涂。
第一种张量概念：张量描述（代数观点）
在积分计算中，变量代换法是很常用的方法。由原积分，在进行自变量代换后，得到一个关于新自变量的、不同与旧函数的、新函数的积分。完成积分后，再把新自变量换成原自变量，就得到所求的积分。
对微分方程求解，针对问题的特殊性，在进行适当的自变量代换后，有可能把原微分方程化为简单的、很容易求得解的微分方程。这时，物理量也要随着变换到新的自变量系统下。在得到解后，再把物理量转换到原自变量系统下。就得到了解。（如球坐标系，柱坐标系，等的应用）。
把以上的做法用一般性理论来表达就产生两条路：
1) 以雅可比行列式为代表的、坐标变换法。该法在1960年后，经由复旦大学数学系的工作，在我国占绝对统治地位。
2) 另一条路是，张量描述法。把微分方程直接写成张量形式。原则上，寻找这样一个坐标系，使方程能在该系下简单求解。这一方法，如所周知的、是由于爱因斯坦的相对论的推动。
无疑的，如果把上述的微分方程看成是绝对正确的，则：张量的确等价于坐标变换的一套规则（以朗道的理论物理教科书为突出代表）。由此而发展起来的李代数把这一套张量理论完整化了。
显然，数学家，尤其是应用数学家，偏好这套概念。
第二种张量概念：曲面的内禀坐标描述下的张量概念。
该方法始于大地测量的需求。把球面测量变成欧氏空间的一般测量。高斯曲面论就是它的代名词。曲面的内禀坐标+度规张量=坐标系。在该描述下，球面是二维空间。
Riemann等人在后来把它系统性化，形成了Riemann几何理论。把它与代数结合，相互促进，也就是建立了一般所说的微分几何。但它总的来说是：先指定内禀坐标+度规张量，然后使用李代数得到协变导数。最后建立张量微分方程。
爱因斯坦在建立相对论的初期采用的是代数观点，后来转到几何观点。这一概念被后来的物理学界所接受，也是在当代物理中占绝对统率地位的观点之一。
第三种张量概念：在给定初始度规张量下的一般性运动的张量描述，简称为：度规张量（运动）变换
爱因斯坦在晚期的论文中，认为：度规张量的变化（随某几个参量）就是运动的物理描述。因而，使用随体坐标系（也称为拖带系，可变形的），研究度规张量的变化，并得到关于度规张量的运动方程。
这条路线的后期发展就是规范场论（我认为应称为度规场论）。
但是，爱因斯坦晚年的观点是狭隘化的，除非物理场早就存在（因而能用度规张量的变化产生它们相应的变化），否则如何由度规张量的变化产生出物理场呢？
如果存在能够由度规张量的变化产生出物理场的时空结构，这种时空结构本身应满足何种条件性方程？显然，这种条件性方程是物理的（物质性的），而不是纯数学的。
沿着这条路线，求初始度规张量，时空结构就物质化了。简称为时空连续介质。
第四种张量概念：在给定初始度规基矢下的一般性运动的张量描述，简称为：度规基矢（运动）变换
这一概念的早期倡导者是Eddington (英国天文学家；用观测结果验证相对论), Weyl （德国数学家）。但是，由于在一系列的公开或半公开的论证中被爱因斯坦击败，因而只不过是最近十多年才开始重新被人们所注意到。
要明白应力的张量概念有以下几步：
1. 把逆变力（牛顿力）在协变基矢下的表达方式高明白（就是常规的力矢量）。
2. 这个力是作用在一个面上，因而上述矢量的每个分量都分解为在该面上的三个分量。在过该物质点中点的三个独立面上（或在单位立方体的三个独立面上），这样就共得到九个分量。
3. 这就是应力张量的初步概念。
4. 推广到一般坐标系，就是应力的完整几何概念。
5. 用变形能不变量概念由对应变张量求偏导，就得到点应力张量概念。这是物理的。
6. 只不过是定义在单位物质元上，数学上，它被称为点。
本文根据河南理工大学测绘与国土信息工程学院肖建华教授发布于科学网论坛上的帖子整理而成。封面图片来自于果壳网。
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